1Suites arithmétiques
Activité de découverte
Cours — Définition et formules
Une suite arithmétique $u$ est une suite de nombres définie par un premier terme, la plupart du temps $u(0)$, et une relation de récurrence de la forme $$u(n+1)=u(n)+r\text{.}$$
Cette relation exprime qu'à partir d'un terme de la suite, on obtient le terme suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$. Ce nombre est appelé la raison de la suite.
- La suite $u$ définie par $u(0)=0$ et $u(n+1)=u(n)+1$. Sa raison est $1$.
- La suite $v$ définie par $v(1)=0$ et $v(n+1)=v(n)-2$. Sa raison est $-2$.
- La suite $w$ définie par $w(0)=12$ et $w(n+1)=w(n)+10$. Sa raison est $10$.
Pour une suite $u$, on a l'habitude d'utiliser la notation $u_n$ au lieu de $u(n)$ pour le terme de rang $n$. On dit aussi que $n$ est l'indice du terme.
Pour les trois exemples précédents, on note donc : $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+1$ ; $v_1=0$ et $v_{n+1}=v_n-2$ ; $w_0=12$ et $w_{n+1}=w_n+10$.
$u$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Alors pour tout entier naturel $n$, $$u_n=u_0+n\cdot r\text{.}$$
Voici les formules explicites des suites définies dans les exemples précédents : $u_n=n$ ; $v_n=-2n$ ; $w_n=12+10n$.
Exercices
Représentation et sens de variation
Activité de découverte
Cours
On peut représenter les termes d'une suite dans un repère. Pour cela, on place :
- les valeurs du rang $n$ en abscisses ;
- les valeurs du terme $u_n$ en ordonnées.
Pour une suite arithmétique, les points qui représentent les termes sont alignés.
Une suite arithmétique $u$ de raison $r$ est :
- croissante si $r\geqslant 0$ — chaque terme est supérieur au précédent ;
- décroissante si $r\leqslant 0$ — chaque terme est inférieur au précédent.
Dans les exemples précédents, les suites $u$ et $w$ sont croissantes, car leurs raisons sont positives, et la suite $v$ est décroissante, car sa raison est négative.
Exercices
2Fonctions affines
Activité de découverte
Cours
Dans le plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;y)$ tels que $$y=f(x)\text{.}$$
Remarques :
- On note $\mathcal{C}_f$, ou simplement $\mathcal{C}$, la courbe représentative d'une fonction.
- Chaque colonne d'un tableau de valeurs correspond à un point de la courbe.
- La fonction $f$ est une relation entre des nombres, alors que sa courbe $\mathcal{C}$ est un ensemble de points.
Dans l'exercice 1.12, la fonction $f$ est une fonction linéaire et la fonction $g$ est une fonction affine.
- Une fonction linéaire est une fonction définie par une expression de la forme $f(x)=mx$, où $m$ est un nombre réel.
- Une fonction affine est une fonction définie par une expression de la forme $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des nombres réels.
Remarque : une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, pour laquelle $p=0$.
Dans un repère, la représentation graphique :
- d'une fonction affine est une droite ;
- d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère ;
- d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Pour une fonction affine $f$ définie par une expression de la forme $f(x)=mx+p$ :
- Le nombre $m$ est appelé coefficient directeur de la fonction. C'est l'accroissement en $y$ pour un accroissement de $1$ en $x$.
- Le nombre $p$ est appelé ordonnée à l'origine de la fonction. C'est la valeur de $f(x)$ pour $x=0$.
Exercices
