1Modèles du type $f(x)=a\,x^2$ et $f(x)=a\,x^2+c$
Activité de découverte
Cours — Fonction « carré » et fonctions $f(x)=ax^2+c$
La fonction de degré 2 la plus simple est la fonction « carré », définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=x^2$.
Sa courbe représentative dans un repère est une parabole dont le sommet est l'origine du repère et correspond à un minimum.
On s'intéresse aux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par des expressions du type $f(x)=ax^2+c$, où $a$ et $c$ sont des nombres réels ($a$ non nul), et à leurs courbes dans un repère orthonormé.
- Les courbes de ces fonctions sont des paraboles.
- Si $a>0$, la parabole est convexe, c'est-à-dire ouverte vers le haut ; si $a<0$, elle est concave, c'est-à-dire ouverte vers le bas.
- La valeur absolue de $a$ modifie l'ouverture de la courbe : plus $|a|$ est grand, plus la courbe est resserrée autour de l'axe des ordonnées.
- Ces courbes admettent pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.
- Ces courbes admettent pour sommet le point de coordonnées $(0\,;c)$ : un minimum si $a>0$, un maximum si $a<0$.
Trois paraboles de la famille $f(x)=ax^2+c$, avec leur sommet marqué d'une croix :
On peut représenter l'allure d'une courbe par un tableau de variations : une représentation schématisée dans laquelle les parties croissante et décroissante de la courbe sont figurées par des flèches.
Tableaux de variations des trois fonctions précédentes :
Exercices
2Modèles du type $f(x)=ax^2+bx+c$
Activité de découverte
Cours — Courbe d'une fonction polynôme de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction de la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, avec $a$ non nul.
Dans un repère orthonormé, la courbe d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.
- Si $a>0$, la parabole est convexe et la fonction admet un minimum.
- Si $a<0$, la parabole est concave et la fonction admet un maximum.
- La valeur absolue de $a$ modifie l'ouverture de la courbe : plus $|a|$ est grand, plus la courbe est resserrée autour de l'axe des ordonnées.
- Ces courbes admettent un axe de symétrie et un sommet qui appartient à cet axe.
Les racines d'une fonction polynôme $f$, si elles existent, sont les valeurs de $x$ telles que $f(x)=0$.
Ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Si une fonction polynôme de degré 2 admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors l'axe de symétrie de sa courbe est la droite d'équation $x=k$, avec $$k=\dfrac{x_1+x_2}{2}\,.$$
Exercices
Activité de découverte — Signe
Cours — Signe d'une fonction du second degré
Toute fonction du second degré de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ est du signe du coefficient $a$, sauf entre les racines, si elles existent.
$f(x)=2(x-3)(x+2)$ admet deux racines, $x_1=-2$ et $x_2=3$. Comme $a>0$, la fonction est positive sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]3\,;+\infty[$, négative sur $]-2\,;3[$, et nulle en $-2$ et en $3$.
$h(x)=-x(x-2)$ admet deux racines, $x_1=0$ et $x_2=2$. Comme $a<0$, la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive sur $]0\,;2[$.
$g(x)=-(x+3)^2$ admet une unique racine, $x_0=-3$. Comme $a<0$, la fonction est négative partout et s'annule en $-3$.
$k(x)=0{,}5\,x^2-x+2$ n'admet pas de racine dans $\mathbb{R}$. Comme $a>0$, la fonction est toujours positive.
Le tableau ci-dessous récapitule les six situations possibles pour la courbe d'une fonction du second degré, selon le signe de $a$ et le nombre de racines.
Exercices
