1Nuages de points
Activité de découverte
Cours — Nuage de points, point moyen et ajustement affine
On s'intéresse à une série statistique à deux variables quantitatives $x$ et $y$ qui prennent des valeurs $x_i$ et $y_i$, pour $i$ allant de $1$ à $n$. Le nuage de points associé est l'ensemble des points de coordonnées $(x_i\,;y_i)$.
Une salle de sport lance un nouveau cours collectif. On relève chaque semaine le nombre $y$ d'adhérents inscrits au cours.
| Semaine $x$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'inscrits $y$ | $22$ | $28$ | $27$ | $35$ | $38$ |
Le point moyen d'un nuage de points est le point $\text{G}(\bar{x}\,;\bar{y})$ dont les coordonnées sont les moyennes des abscisses et des ordonnées de la série : $$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \qquad \bar{y}=\dfrac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}$$ Le point moyen n'est pas nécessairement un des points du nuage.
Pour la série précédente : $$\bar{x}=\dfrac{0+2+4+6+8}{5}=4 \qquad \bar{y}=\dfrac{22+28+27+35+38}{5}=30$$ On en déduit que les coordonnées du point moyen sont $\text{G}(4\,;30)$.
Lorsque les points d'un nuage sont sensiblement alignés, on peut les modéliser par une droite : c'est un ajustement affine. Cette droite permet ensuite d'estimer des valeurs de $y$ non mesurées, par interpolation (à l'intérieur de la série) ou extrapolation (à l'extérieur de la série).
Un ajustement affine « au jugé » consiste à tracer à la règle une droite qui passe au plus près de tous les points du nuage, en s'appuyant éventuellement sur le point moyen.
La droite passant par le premier point $(0\,;22)$ et le dernier point $(8\,;38)$ passe également par le point moyen $\text{G}(4\,;30)$ : c'est un bon ajustement au jugé du nuage.
Son coefficient directeur est $\dfrac{38-22}{8-0}=2$ et son ordonnée à l'origine $22$, donc son équation réduite est $y=2x+22$.
Exercices
2Méthodes d'ajustement affine et applications
Activité de découverte
Cours — Droite de Mayer et moindres carrés
La méthode de Mayer permet d'obtenir un ajustement affine d'un nuage de points de façon plus rigoureuse qu'un ajustement au jugé.
On partage le nuage de points en deux sous-nuages de même effectif, dans l'ordre des abscisses croissantes (si l'effectif total est impair, on retire le point médian). On calcule les coordonnées des points moyens $\text{G}_1$ et $\text{G}_2$ de chacun des deux sous-nuages.
La droite de Mayer est la droite $(\text{G}_1\text{G}_2)$. Elle constitue un ajustement affine du nuage de points.
La méthode des moindres carrés est la méthode d'ajustement affine utilisée par les calculatrices et les tableurs. Le principe est de déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite.
On peut utiliser une droite d'ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs.
- Interpoler, c'est calculer une valeur de $y$ pour une valeur de $x$ qui appartient à l'intervalle d'étude mais pas à l'ensemble des données.
- Extrapoler, c'est calculer une valeur de $y$ pour une valeur de $x$ qui est hors de l'intervalle d'étude.
Obtenir un ajustement affine à la calculatrice
Menu Statistiques — saisir les données, onglet Graphique, onglet Régression, choisir Affine, puis lire l'équation et les statistiques (dont le point moyen).
Touche stats — menu ÉDIT pour saisir les listes L1 et L2, menu CALC : 2 : Stats 2 var pour lire le point moyen, 4 : RégLin(ax+b) pour lire l'équation de la droite.
Exercices
